極上問題１
$$
\begin{aligned}
&\text{次の式を因数分解せよ。}\\[6pt]
&(x^4+60)^2+4(1+4x^2)(x^4+60)+64x^2\\[6pt]
\end{aligned}
$$
解答
$$
\begin{aligned}
&x^4+60=A\\
&\text{とおくと、}\\[6pt]
&(x^4+60)^2+4(1+4x^2)(x^4+60)+64x^2\\[6pt]
&\qquad=A^2+4(1+4x^2)A+64x^2\\[6pt]
&\qquad=(A+4)(A+16x^2)\\[6pt]
&\qquad=\{(x^4+60)+4\}\{(x^4+60)+16x^2\}\\[6pt]
&\qquad=(x^4+64)(x^4+16x^2+60)\\[6pt]
&\qquad=(x^4+64)(x^2+6)(x^2+10)\quad\cdots①\\[6pt]
&\qquad=\{(x^4+16x^2+64)-16x^2\}(x^2+6)(x^2+10)\\[6pt]
&\qquad=\{(x^2+8)^2-(4x)^2\}(x^2+6)(x^2+10)\\[6pt]
&\qquad=\{(x^2+8)+4x)\}\{(x^2+8)-4x)\}(x^2+6)(x^2+10)\\[6pt]
&\qquad=(x^2+4x+8)(x^2-4x+8)(x^2+6)(x^2+10)\\[6pt]
\end{aligned}
$$
どうでした？正解できましたか？
実はこの問題、正解できた人をほとんど見たことがありません。
記憶にある限り2人だけです。
医学部生に解いてもらったこともありましたが、不正解でした。
問題としては標準レベルなのですが、みんな①で止まってしまっているのです。
①が出たところで安心してしまっているのだと思います。
「これ以上因数分解できないというところまでやらないとダメだよ」と最初に念を押しておけば50%くらいの正解率にはなったかと思うのですが・・・・・・・。
この問題ですが、「解けたと思わせて実は不正解という問題を作る」という理念のもと作成したオリジナル問題です。
懸賞問題として出題したのですが、まんまとみなさんはまってくれました。
さて$x^4+64$という複二次式は平方の差の形に変形するのが鉄則ですよね。
もちろんすべての複二次式が今回のように因数分解できるわけではありませんが、「もしかしたらまだできるかもしれない」という意識を持っておくことが大切です。
