極上問題３

$$ \begin{aligned} &\text{与式より、}\\[6pt] &\qquad 3\sqrt{3x}+3\sqrt{2y}=2\sqrt{2xy}\quad\cdots①\\[6pt] &x, y\text{は自然数だから、}\sqrt{2xy}≠0\text{ なので、①の両辺を}\sqrt{2xy}\text{ で割ると}\\[6pt] &\qquad 3\sqrt{\frac{3}{2y}}+3\sqrt{\frac{1}{x}}=2\quad\cdots②\\[6pt] \\[6pt] &\sqrt{\frac{3}{2y}}、\sqrt{\frac{1}{x}}\text{ の少なくとも一方が無理数であった場合、}\\[6pt] &\text{左辺が無理数、右辺が有理数となり②を満たさない。}\\[6pt] \\[6pt] &\text{よって、}\sqrt{\frac{3}{2y}}、\sqrt{\frac{1}{x}}\text{ はどちらも有理数なので、}\\[6pt] &\qquad x=m^2,　y=6n^2　　(m,n \text{ は自然数})\quad\cdots③\\[6pt] &\text{と表すことが出来る。}\\[6pt] \\[6pt] &\text{これを②に代入して、}\\[6pt] &\qquad \frac{3}{2n}+\frac{3}{m}=2\\[6pt] &\qquad 3m+6n=4mn\\[6pt] &\qquad 4mn-3m-6n=0\\[6pt] &\qquad mn-\frac{3}{4}m-\frac{3}{2}n=0\\[6pt] &\qquad (m-\frac{3}{2})(n-\frac{3}{4})=\frac{9}{8}\\[6pt] &\text{両辺を8倍して、}\\[6pt] &\qquad (2m-3)(4n-3)=9\quad\cdots④\\[6pt] &m, n\text{は自然数なので、}2m-3,　4n-3\text{はそれぞれ－1以上、1以上の}\\[6pt] &\text{自然数である。}\\[6pt] \\[6pt] &よって④式を満たす2m-3と4n-3の組み合わせは、\\[6pt] &\qquad (2m-3,4n-3)=(1,9),(3,3),(9,1)\\[6pt] &これらを解いて、\\[6pt] &\qquad (m,n)=(2,3),(3,\frac{3}{2}),(6,1)\\[6pt] &m,nは自然数なので、\\[6pt] &\qquad (m,n)=(2,3),(6,1)\\[6pt] &これらを③に代入することによって、求める自然数(x,y)の組は、\\[6pt] &\qquad (x,y)=(4,54),(36,6)\\[6pt] \end{aligned} $$