極上問題２

$$ \begin{aligned} &x^2=t\\ &\text{とおくと、与式は}\\[6pt] &\qquad(t-59)(t^2-11t-45)=60^2-11・60-45\quad\cdots①\\[6pt] &\text{t=60とすると①の左辺は }60^2-11・60-45\text{ となり、}\\[6pt] &\text{右辺と一致するのでt=60は①の解の一つであることがわかる。}\\[6pt] \\[6pt] &\text{次に①を展開して整理する。}\\[6pt] &\qquad t^3-11t^2-45t-59t^2+649t+2655=3600-660-45\\[6pt] &\qquad t^3-70t^2+604t-240=0\quad\cdots②\\[6pt] \\[6pt] &\text{②はt=60を解に持つので、②は以下のように因数分解できる。}\\[6pt] &\qquad (t-60)(t^2-10t+4)=0\quad\cdots③\\[6pt] &\qquad t=60\text{ または }t^2-10t+4=0\\[6pt] \\[6pt] &t^2-10t+4=0{ を解くと、 }\\[6pt] &\qquad t=\frac{-(-5)±\sqrt{(-5)^2-1・4}}{1}=5±\sqrt{21}\\[6pt] \\[6pt] &\text{よって③の解は、}\\[6pt] &\qquad t=60,　5±\sqrt{21}\\[6pt] &\text{つまり、}\\[6pt] &\qquad x^2=60,　5±\sqrt{21}\\[6pt] \\[6pt] &\text{これより、}\\[6pt] &\qquad x=±\sqrt{60},　±\sqrt{5+\sqrt{21}},　±\sqrt{5-\sqrt{21}}\\[6pt] &\qquad x=±2\sqrt{15},　±\sqrt{5+\sqrt{21}},　±\sqrt{5-\sqrt{21}}\quad\cdots④\\[6pt] \\[6pt] &\text{今、}\\[6pt] &\qquad \sqrt{5+\sqrt{21}}=\sqrt{\frac{10+2\sqrt{21}}{2}}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}\\[6pt] &\qquad 　=\frac{\sqrt{(7+3)+2\sqrt{7・3}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}+\sqrt{6}}{2}\\[6pt] \\[6pt] &\text{同様に、}\\[6pt] &\qquad \sqrt{5-\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{6}}{2}\\[6pt] \\[6pt] &\text{よって求める解は、}\\[6pt] &\qquad x=±2\sqrt{15},　±\frac{\sqrt{14}+\sqrt{6}}{2},　±\frac{\sqrt{14}-\sqrt{6}}{2}\\[6pt] \\[6pt] \end{aligned} $$